參考《數(shù)字信號(hào)處理》楊毅明著p.183-184，機(jī)械工業(yè)出版社2012年發(fā)行。

　　數(shù)字濾波器是按照程序計(jì)算信號(hào)，達(dá)到濾波的目的。通過對(duì)數(shù)字濾波器的存儲(chǔ)器編寫程序，就可以實(shí)現(xiàn)各種濾波功能。對(duì)數(shù)字濾波器來說，增加功能就是增加程序，不用增加元件，不受元件誤差的影響，對(duì)低頻信號(hào)的處理也不用增加芯片的體積。用數(shù)字濾波方法可以擺脫模擬濾波器被元件限制的困擾。

　　數(shù)字濾波器一詞出現(xiàn)在60年代中期。由于電子計(jì)算機(jī)技術(shù)和大規(guī)模集成電路的發(fā)展，數(shù)字濾波器已可用計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)，也可用大規(guī)模集成數(shù)字硬件實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。

　　數(shù)字濾波器是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)(按預(yù)定的算法，將輸入離散時(shí)間信號(hào)(對(duì)應(yīng)數(shù)字頻率)轉(zhuǎn)換為所

　　要求的輸出離散時(shí)間信號(hào)的特定功能裝置)。應(yīng)用數(shù)字濾波器處理模擬信號(hào)(對(duì)應(yīng)模擬頻率)時(shí)，首先須對(duì)輸入模擬信號(hào)進(jìn)行限帶、抽樣和模數(shù)轉(zhuǎn)換。數(shù)字濾波器輸入信號(hào)的數(shù)字頻率(2π*f/fs,f為模擬信號(hào)的頻率，fs為采樣頻率，注意區(qū)別于模擬頻率),按照奈奎斯特抽樣定理，要使抽樣信號(hào)的頻譜不產(chǎn)生重疊，應(yīng)小于折疊頻率(ws/2=π)，其頻率響應(yīng)具有以2π為間隔的周期重復(fù)特性，且以折疊頻率即ω=π點(diǎn)對(duì)稱。為得到模擬信號(hào)，數(shù)字濾波器處理的輸出數(shù)字信號(hào)須經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換、平滑。數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或復(fù)用、便于集成等優(yōu)點(diǎn)。數(shù)字濾波器在語(yǔ)言信號(hào)處理、圖像信號(hào)處理、醫(yī)學(xué)生物信號(hào)處理以及其他應(yīng)用領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。

　　數(shù)字濾波器有低通、高通、帶通、帶阻和全通等類型。它可以是時(shí)不變的或時(shí)變的、因果的或非因果的、線性的或非線性的。應(yīng)用最廣的是線性、時(shí)不變數(shù)字濾波器，以及f.i.r濾波器。

　　數(shù)字濾波器特點(diǎn)

　　IIR數(shù)字濾波器的最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。模擬濾波器設(shè)計(jì)已經(jīng)有了相當(dāng)成熟的技術(shù)和方法，有完整的設(shè)計(jì)公式，還有比較完整的圖表可以查詢，因此設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器可以充分利用這些豐富的資源來進(jìn)行。

　　對(duì)于IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)具體步驟如下：

　　(1)按照一定的規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。

　　(2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器G(s)(G(s)是低通濾波器的傳遞函數(shù))。

　　(3)再按照一定的規(guī)則將G(s)轉(zhuǎn)換成H(z)(H(z)是數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù))。若設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器是低通的，上述的過程可以結(jié)束，若設(shè)計(jì)的是高通、帶通或者是帶阻濾波器，那么還需要下面的步驟：

　　將高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為低通模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后設(shè)計(jì)出低通G(s)，再將G(s)轉(zhuǎn)換為H(z)。

　　IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以寫成封閉函數(shù)的形式。

　　IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)上帶有反饋環(huán)路。IIR濾波器運(yùn)算結(jié)構(gòu)通常由延時(shí)、乘以系數(shù)和相加等基本運(yùn)算組成，可以組合成直接型、正準(zhǔn)型、級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型四種結(jié)構(gòu)形式，都具有反饋回路。由于運(yùn)算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生微弱的寄生振蕩。

　　IIR數(shù)字濾波器在設(shè)計(jì)上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等，有現(xiàn)成的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)或圖表可查，其設(shè)計(jì)工作量比較小，對(duì)計(jì)算工具的要求不高。在設(shè)計(jì)一個(gè)IIR數(shù)字濾波器時(shí)，我們根據(jù)指標(biāo)先寫出模擬濾波器的公式，然后通過一定的變換，將模擬濾波器的公式轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的公式。

　　IIR數(shù)字濾波器的相位特性不好控制，對(duì)相位要求較高時(shí)，需加相位校準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)。

　　在MATLAB下設(shè)計(jì)IIR濾波器可使用Butterworth函數(shù)設(shè)計(jì)出巴特沃斯濾波器，使用Cheby1函數(shù)設(shè)計(jì)出契比雪夫I型濾波器，使用Cheby2設(shè)計(jì)出契比雪夫II型濾波器，使用ellipord函數(shù)設(shè)計(jì)出橢圓濾波器。下面主要介紹前兩個(gè)函數(shù)的使用。

　　與FIR濾波器的設(shè)計(jì)不同，IIR濾波器設(shè)計(jì)時(shí)的階數(shù)不是由設(shè)計(jì)者指定，而是根據(jù)設(shè)計(jì)者輸入的各個(gè)濾波器參數(shù)(截止頻率、通帶濾紋、阻帶衰減等)，由軟件設(shè)計(jì)出滿足這些參數(shù)的最低濾波器階數(shù)。在MATLAB下設(shè)計(jì)不同類型IIR濾波器均有與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)用于階數(shù)的選擇。

　　IIR單位響應(yīng)為無限脈沖序列FIR單位響應(yīng)為有限的

　　IIR幅頻特性精度很高，不是線性相位的，可以應(yīng)用于對(duì)相位信息不敏感的音頻信號(hào)上;

　　FIR幅頻特性精度較之于iir低，但是線性相位，就是不同頻率分量的信號(hào)經(jīng)過FIR濾波器后他們的時(shí)間差不變。這是很好的性質(zhì)。

　　另外有限的單位響應(yīng)也有利于對(duì)數(shù)字信號(hào)的處理，便于編程，用于計(jì)算的時(shí)延也小，這對(duì)實(shí)時(shí)的信號(hào)處理很重要。

　　數(shù)字濾波器分類

　　數(shù)字濾波器可以按所處理信號(hào)的維數(shù)分為一維、二維或多維數(shù)字濾波器。一維數(shù)字濾波器處理的信號(hào)為單變量函數(shù)序列，例如時(shí)間函數(shù)的抽樣值。二維或多維數(shù)字濾波器處理的信號(hào)為兩個(gè)或多個(gè)變量函數(shù)序列。例如，二維圖像離散信號(hào)是平面坐標(biāo)上的抽樣值。

　　一維濾波器

　　處理一維數(shù)字信號(hào)序列的算法或裝置。線性、時(shí)不變一維數(shù)字濾波器的輸出信號(hào)序列y(n)和輸入信號(hào)序列x(n)的關(guān)系由線性、常系數(shù)差分方程描述：

　　圖二 分別為輸出和輸入信號(hào)序列的Z變換。轉(zhuǎn)移函數(shù)H(z)的Z反變換稱為一維數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)，即h(n)=Z-1【H(z)】。輸出信號(hào)序列也可以表示為輸入信號(hào)序列x(n)與數(shù)字濾波器單位沖激響應(yīng)h(n)的離散褶積(如圖三) 如果數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)只有有限個(gè)非零值，稱為有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器。如果單位沖激響應(yīng)具有無限

　　圖3 多個(gè)非零值，稱為無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器。

　　有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器一般采取非遞歸型算法結(jié)構(gòu)，因此也稱非遞歸型數(shù)字濾波器。無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器只能采取遞歸型算法結(jié)構(gòu)，故又稱遞歸型數(shù)字濾波器。

　　二維濾波器

　　處理二維數(shù)字信號(hào)序列的算法或

　　圖4 裝置。線性、時(shí)不變二維數(shù)字濾波器的輸出 y(m，n)與輸入 x(m，n)關(guān)系由兩個(gè)變量線性常系數(shù)差分方程描述相應(yīng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為圖5式中，a b為濾波器系數(shù),Z【y(m,n)】和Z【x(m，n)】分別為輸出和輸入信號(hào)序列的二維Z變換。

　　圖5 轉(zhuǎn)移函數(shù)H(z1，z2)的二維Z反變換h(m，n)=Z-1【H(z1,z2】,稱為二維數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)。二維數(shù)字濾波器的輸出y(m，n)亦可表示為輸入信號(hào)序列x(m,n)和單位沖激響應(yīng)h(m，n)的二維離散褶積(圖六) 二維數(shù)字濾波器對(duì)單位沖激響應(yīng)亦分有限沖激響應(yīng)和無限沖激響應(yīng)

　　圖6 兩類。二維有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器為非遞歸型算法結(jié)構(gòu)，因此又稱二維非遞歸型數(shù)字濾波器。二維無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器為遞歸型算法結(jié)構(gòu)，因此也稱二維遞歸型數(shù)字濾波器。